добавил второй witget на страницу, нужно ли менять код на моём сайте?

Нет, код как счетчики гугла/яндекса единые.
На сайте может быть бесконечное число витжетов (ограничение только рамками разумности) и все будет работать при установке одного единственного кода указанного при создании сайта или при его просмотре/редактировании.